穿针引线法的前世今生【初级和中阶辅导】-沙沙资源网

穿针引线法

一、穿针引线法的前世–零点分区间讨论法

说起穿针引线法，不得不说零点分区间讨论法，比如碰到高次不等式，也有人这样来解。

比如解不等式$(x+1)(x-2)(x+3)>0$，为便于表述令$P=(x+1)(x-2)(x+3)$，

先找到零点$x=-3，x=-1，x=2$，然后分区间列表得到

$\begin{array}{c|ccccccc} x范围 & \text{$x<-3$} & \text{$\color{red}{x=-3}$} &\text{$-3<x<-1$} & \text{$\color{red}{x=-1}$} &\text{$-1<x<2$} & \text{$\color{red}{x=2}$} &\text{$x>2$} \\ \hline P的值 & – & 0 &+& 0 & – & 0 & + \\ \end{array}$

由表格就可以得到不等式的解集$\{x\mid -3<x<-1 或x>2\}$。

这和绝对值不等式的解法中的零点分区间讨论法是一样的。后来有人对此方法做了改进，就得到了穿针引线法。

二、穿针引线法—–今生

“穿针引线法”也叫“数轴标根法”，或“数轴穿根法”或“穿根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。

序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

当高次不等式$f(x)>0(或<0)$的左边整式，分式不等式$\cfrac{\phi(x)}{h(x)}>0(<0)$的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$的形式，可把各因式的根标在序轴上，形成若干个区间，最右端的$f(x)$，$\cfrac{\phi(x)}{h(x)}$的值必须为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。很显然，这种方法体现了数形结合思想，所以用起来很方便。
据说是河南省信阳市高二的一名老教师，于上世纪八十年代发表的一篇论文上介绍此法，从此流传开来。
1、使用步骤：我们以穿针引线法解不等式$x^3-x+2>2x^2$为例，加以说明。

第一步：一端化为$0$；先将不等式转化为$f(x)>0(<0)$的形式。为什么呢，其实这种方法是利用了高中数学中的“函数与方程”思想，做出函数$y=f(x)$和数轴$y=0$，利用两个函数图像的交点来解读不等式。所以右端必须化为$0$。比如我们将不等式$x^3-x+2>2x^2$转化为$x^3-2x^2-x+2>0$；

第二步：分解调系数；将不等式$x^3-2x^2-x+2>0$分解为$(x-2)(x-1)(x+1)>0$；务必将每一个因式的最高次项的系数调整为正值，比如某不等式分解后为$(2-x)(x+1)(x+3)>0$，就必须调整为$(x-2)(x+1)(x+3)<0$，分解方法

第三步：变等求零点；将上述的不等式$f(x)>0$的不等号变成等号即$f(x)=0$，求出函数$f(x)$的零点；如令$(x-2)(x-1)(x+1)=0$；得到零点为$x=-1，x=1，x=2$

第四步：序轴并标根；在序轴上从左到右按照大小依次标出各根$-1，1，2$。

第五步：划线穿序轴；以序轴为标准，从“最右端的根$2$”的右上方穿过序轴，往左下画线，然后又穿过“次右根$1$”上去，一上一下依次穿过各根。

第六步：读图写解集；观察不等号，如果不等号为$>$，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为$<$，则取数轴下方，穿根线以内的范围。

比如不等式$(x-2)(x-1)(x+1)>0$的解集为$\{x\mid -1<x<1或x>2\}$。

可以简单记为秘籍口诀：自上而下，自右而左，奇穿偶不穿；

2、注意事项：

使用“穿针引线法”时，常犯以下的几种错误：

①如将不等式分解为$(x+2)(1-x)(x+3)>0$解直接穿根，错在需要将其调整为$(x+2)(x-1)(x+3)<0$再穿根；

当然不等式$(x+2)(x^2-1)<0$也不能直接穿根，因为没有分解到最后；

②没有分清重根的奇偶，比如不等式$(x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0$，其中根$x=0.5$是二次重根(偶次重根)，根$x=1$是一次重根(奇次重根)，根$x=2$是三次重根(奇次重根)，故穿根时，在$x=2$和$x=1$出都是一次穿过，而在根$x=0.5$处，是穿而不过，就像蜻蜓点水一样。

③出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”，如$x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0$也可以用，先化为$x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0$，注意到二次三项式$x^2+x+1$由于其$\Delta <0$，故$x^2+x+1>0$恒成立，所以原不等式等价于$x(x+1)(x-2)(x-1)>0$，穿针引线法如右图得到解集$\{x\mid x<-1或0<x<1或x>2\}$。

④以为只可以用来解高次不等式，不能用来解分式不等式，比如解分式不等式$\cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0$，利用符号法则，就可以等价转化为$x(x+1)(x-2)(x-1)>0$，故解集同上。具体解分式不等式时，我们甚至不需要将其转化为整式不等式，直接穿根就行了。

3、穿根法的适用范围

可以用来解高次不等式和分式不等式，当然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟练后，我们利用心算能力就可以画图写出解集了。

相关阅读1、因式分解法参见打开博文的试商法，分组分解法，多项式除法

2、零点分区间讨论法解绝对值不等式

3、穿根法的另类应用

比如函数$f(x)=(x+1)^2\cdot (x-2)$，我们可以做出函数的图像，

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